Математическое ожидание в покере

Материал обновлен: 27.12.2023
Математическое ожидание в покере

Многие любители видят только эмоциональную сторону покера. Но механика игры глубже и больше похожа на доказательство сложных теорем, чем на развлечение. Математическое ожидание в покере — центральная концепция. Вокруг него строится стратегия. Оно помогает принимать решения в моменте и на дистанции, его должен уметь рассчитывать каждый регуляр.

Объяснение математического ожидания в покере

EV (Expected Value) — важнейшее понятие в покере. Оно объединяет все остальные концепции и выражает их в числовом виде. Речь об ожидаемой прибыли, возможной при том или ином действии игрока, хотя может также характеризовать и эффективность стратегии в целом.

На каждом этапе раздачи покерист выбирает одну из нескольких опций. Каждая из них имеет свое EV с учетом всей доступной ему информации. При этом значение показателя может быть как положительным, так и отрицательным. Объявление фолда всегда имеет нулевое ожидание.

Зачем нужен показатель

Математическое ожидание в покере применяется для оценки выгодности действий. Оно показывает, какую прибыль можно получить на дистанции, выбирая определенное решение.

Перевес в стратегии даже сильнейшего регуляра против рекреационного игрока хотя и позволит ему получать прибыль на дистанции, но никогда не будет значительным. Это четко видно при сравнении двух разных по силе диапазонов — например, 15% и 30%.

Спектры 15 и 30%

Диапазоны из 15% и 30% всех стартовых рук

Очевидно, более узкий диапазон содержит больше топовых рук и должен побеждать чаще. И все же его эквити чуть менее 57%, то есть именно с такой частотой тайтовый спектр находится впереди математически.

Покер — дисциплина небольших преимуществ, а уровень игрока определяется умением извлечь максимум из каждой ситуации.

Показатель EV — это инструмент определения прибыльности действия. Через сравнение ожидания для каждой опции можно узнать, какое решение принесет на дистанции больше денег.

Понятие математического ожидания в покере применимо для стратегии в целом. Так, солвер никогда не рассматривает отдельную руку. Он изучает все возможные решения для каждой комбинации в диапазонах и балансирует их так, чтобы оппонент не мог найти против него прибыльные настройки. На практике это приводит к тому, что ГТО машина выбирает для части рук решение с меньшим EV, чтобы повысить общее ожидание всего диапазона. Например, в спектр чека для защиты могут отправляться комбинации, в вакууме приносящие больше прибыли через крупную ставку.

Как рассчитать EV

Математическое ожидание представляет собой сравнение прибыли и убытков, возможных при определенном действии. Если расчетная выгода перевешивает сумму проигрышей, решение имеет положительное EV, если игрок больше теряет — отрицательное.

Выявления всех исходов

Любое действие, кроме фолда, имеет несколько возможных последствий, зависящих от реакции оппонента. Так, ставка может увидеть пас, колл или рейз, а в ответ на чек соперник может сделать бет или пропустить ход.

Чтобы рассчитать EV, нужно выявить все возможные варианты продолжения, а затем для каждого из них определить среднюю сумму выигрыша и проигрыша при заданной вероятности исхода событий.

Определение суммы выигрышей

В покере все вращается вокруг концепции вероятностей. Это игра с неполной информацией, то есть соперники не знают ни руки друг друга, ни общие карты, кроме тех, которые уже находятся на доске. Никакое значение эквити, кроме 100%, не гарантирует победу в конкретной раздаче. Это нужно учесть при расчете математического ожидания в покере.

Решение уравнения по формуле

В качестве примера можно разобрать игровую ситуацию: большой блайнд заколлировал на префлопе опен-рейз от баттона и на флопе получил контбет $1.8 в банк $5.5. Возможные действия BB — фолд, колл или рейз. При этом покерист без позиции предполагает, что имеет около 30% эквити против диапазона соперника, а в случае повышения ставки в 4 раза (до $7.2) тот выбросит около 40% рук.

EV фолда = 0. Это неизменное значение. Деньги, к этому моменту внесенные в банк, больше не принадлежат игроку, и потерять их он не может. Покерист также не отдает дополнительных фишек, то есть ничего не проигрывает и не выигрывает.

Ожидание от колла рассчитывается через сравнение положительного исхода с отрицательным с учетом их вероятности. В данном случае шанс на победу или поражение определяется через эквити — долю игрока в банке в конкретный момент при предполагаемой силе руки против диапазона оппонента. Используется формула:

EV колла = Вероятность победы * Сумма в банке — Вероятность поражения * Сумма колла = 30%*($1.8+$5.5) — 70%*$1.8 = $0.93

Для ожидания чек-рейза все немного сложнее. Здесь придется учесть не только вероятность фолда соперника, но и шанс на победу в случае его колла.

EV рейза = Вероятность фолда * Сумма в банке + Вероятность колла * (Вероятность победы * Сумма в банке включая колл на рейз — Вероятность поражения * Сумма рейза) = 40%*($1.8+$5.5) + 60%*(30%*($5.5+$7.2)) — 70%*$7.2 = $2,18

Закончив расчеты, остается только сравнить полученные результаты. Хотя колл будет приносить прибыль, рейз — более выгодное действие. Может показаться, что разница в $1.25 не такая большая, но рассматривать эффект нужно на дистанции. К примеру, на 100 подобных спотов колл принесет около $93, а рейз — $218, в два раза больше.

Каждая раздача дробится на множество таких небольших ситуаций, и чем больше покерист принимает решений с максимальным EV, тем выше его итоговый винрейт.

Ожидаемая выгода на дистанции

Покер — дисперсионная игра. Это значит, что колебания результатов на небольшом отрезке могут сильно отличаться от математического ожидания. К примеру, выставляясь в олл-ин с тузами против королей, можно рассчитывать на победу в 82% случаев. И хотя на бесконечной дистанции итог будет близок к этому расчетному значению, на выборке в 10 раздач покерист запросто может проиграть все 10 раз. Просто этот результат сгладится, когда игрок наберет достаточно много таких ситуаций.

Покер обучениеРавновесие Нэша в покере

Покер состоит из математических концепций. Но почти все они сводятся к понятию равновесия. Любое решение за столом должно быть оправдано конкретными расчетами баланса. Отклонение… Читать далее

Отличия математического ожидания от эквити

В покерном словаре много терминов. При этом некоторые описывают довольно близкие понятия и концепции. Новичкам непросто разобраться в этом разнообразии. В том числе они часто путают EV с эквити.

EV — это математическое ожидание в покере от конкретного действия или всей стратегии. Оно важно для нахождения более прибыльных решений. Эквити (EQ) — более узкое понятие, показывающее долю игрока в банке в соответствии с вероятностью его руки или диапазона выиграть в раздаче с учетом всех возможных общих карт и спектра оппонента. Более простым языком, это шанс на победу в конкретной ситуации.

Эквити важно для правильного расчета математического ожидания: без понимания силы руки или спектра невозможно получить предполагаемые суммы выигрыша и проигрыша.

Как пример можно посчитать оба показателя для конкретной ситуации — олл-ин с различными комбинациями на префлопе в стеках по 100 ББ, для простоты без учета рейка.

РукиЭквити первой рукиЭквити второй рукиEV первой руки, ББEV второй руки, ББ
AA vs KK82%18%64-64
AA vs AK93%7%86-86
AA vs 78s78%22%56-56
AKo vs QQ43%57%-1414
AKo vs AQs70%30%40-40

К примеру, эквити тузов против королей составит 82%, а EV = 82%*100 — 18%*100 = 64 ББ. То есть в среднем игрок будет выигрывать в такой ситуации 64 ББ.

Примеры игровых ситуаций

В рамках теоретически оптимальной игры (ГТО) все руки диапазона имеют одну цель: максимизировать ожидаемую прибыль всего спектра. В противостоянии с живыми оппонентами такая стратегия не всегда оправданна: она делает невозможным эксплойт со стороны соперника, но минимизирует и доход. На примере одной раздачи можно рассмотреть способы максимизации EV. Трибет пот SB против BU, на борде ATTr малый блайнд ставит контбет размером 33% с высокой частотой — около 65% диапазона.

Спектр SB vs BU

SB ставит контбет в 70% случаев

Такую частоту солвер определяет как наиболее прибыльную. При этом общее EV диапазона при таком распределении составляет 13.6 ББ (14.8 ББ у спектра ставки в 33% и 14.2 ББ — у колла, а также 12.5 ББ у бета 75%, но этот сайзинг почти не используется). Ожидание натсовых рук доходит до 48 ББ. Оппонент должен отвечать фолдом с 33% рук, 8% отправит в рейз и 59% заколлирует. Среднее EV его решений составит 8.8 ББ.

Но что если соперник далек от оптимальной стратегии, избегает повышения ставок и чаще положенного сбрасывает карты? Солвер тут же ищет подстройки и предлагает радикально пересмотреть стратегию. Он отказывается от чека и добавляет 28% для ставки 75% пота.

Против оппонента с частым фолдом

Солвер ставит в оппонента с частым фолдом с 100% диапазона

При этом матожидание агрессора повысится до 14.2 ББ, но топовые руки соберут меньше — до 42 ББ. Но если соперник — «автоответчик» и, наоборот, не сбрасывает даже андерпары?

Против частого колла

Солвер ставит в оппонента с частым коллом сайзингом 75%

ГТО-машина начинает просто жадно собирать вэлью крупными ставками, разбавляя диапазон естественными блефами. EV спектра вырастает до 14.5 ББ. При этом ожидание бета 75% от пота — 18.3 ББ, а натсовые руки имеют до 60 ББ.

На этом примере видно, насколько важно учитывать тип оппонента. Делая грамотные подстройки, можно значительно повышать математическое ожидание как отдельных рук, так и всего диапазона.

Показатели Chip Expected Value и All in EV

Хотя принцип расчета и применение концепции математического ожидания универсальны, в разных дисциплинах могут быть свои нюансы. В кеш игра ведется непосредственно на деньги, поэтому EV считают в валюте стола или в больших блайндах. В турнирном покере борьба идет за фишки, что добавило в словарь регуляров дополнительный термин — Chip EV. Он часто используется как противовес понятию ICM — модели расчетов, где учитывается не номинальное количество фишек, а их ценность в разрезе реальной прибыли.

Кроме того, в покере есть и довольно спорный с точки зрения объективности показатель — All in EV. Речь о значении средней прибыли, теоретически получаемую игроком в раздаче после выставления в олл-ин.

В том же примере с выставлением AA в KK All in EV не совпадает с реальным результатом: в случае проигрыша покерист получает «недобор», а при победе — «перебор». Этот показатель считается реальным ожиданием игрока на длинной дистанции, а отклонения в прибыли отражают даунстрик или апстрик.

Советы по увеличению ожидания

Главная задача любого покериста — искать возможности для увеличения прибыли в любой ситуации. Математическое ожидание лучше других показателей помогает прорабатывать стратегию в поисках подстроек.

На префлопе

Первая улица торгов закладывает фундамент в структуру раздачи. Кроме блайндов, никто пока не вложил фишки в банк, и подход к вступлению в игру сильно влияет на ожидание. Вот несколько факторов для повышения EV на префлопе:

  • Диапазоны. Выбор стартовых рук предопределяет прибыльность всей стратегии. Важна не только сила каждой комбинации, но и их общее взаимодействие с разными текстурами флопа — покрытие досок.
  • Типы оппонентов. Стартовые спектры должны быть гибкими. Пассивные противники впереди — повод расширять опен-рейзы в попытке украсть блайнды, агрессивные — причина для отказа от части маргинальных рук.
  • Сайзинги. Хотя по умолчанию должны использоваться одинаковые размеры рейзов со всеми типами стартеров, против слабых оппонентов с неэластичными диапазонами можно их увеличивать или уменьшать.
  • Глубина стеков. При увеличенном запасе фишек нужно стремиться заводить в раздачу больше маргинальных рук, способных собрать сильный кулер против агрессивных соперников и любителей. Возможность забрать большой банк повышает матожидание каждой такой комбинации.
  • Блокеры. Любая карта у игрока делает невозможным ее присутствие оппонента, а значит, и комбинаций с ее участием у него нет. Туз, король или дама в руке повышают фолд-эквити, а вместе с ним растет и EV агрессивного действия с таким стартером.
  • Относительная позиция. Уже на префлопе покерист должен понимать, в каком порядке будут действовать участники раздачи на постфлопе. IP (In Position) игрок реализовывает больше эквити, поэтому и математическое ожидание любого действия в позиции будет повышаться.

На флопе

На второй улице участники раздачи получают больше информации. Они видели решения, принятые оппонентами на префлопе, а также знают общие карты. На флопе нужно учитывать дополнительные факторы:

  • Диапазоны на постфлопе. В зависимости от экшена на префлопе игроки выходят во второй раунд с разными спектрами: агрессор имеет сильный рейндж с натсовыми руками, а коллер капнут, то есть у него срезана «верхушка».
  • Текстура. Общие карты по-разному подходят соперникам. Понимая это, игрок может повысить ожидание своего спектра, надавливая на слабых противников на подходящих бордах.
  • Баланс. Против хороших оппонентов нельзя распределять руки по спектрам только по их силе: это оставит диапазон чека незащищенным. В этом суть равновесия: каждый рейндж должен быть наполнен комбинациями разного типа.

На терне

В зависимости от структуры флопа и ранаута на третьей улице диапазон агрессора часто поляризуется на чек и овербет. Это относительно новая концепция, и многие регуляры микролимитов не умеют ее правильно использовать. Тем не менее солверы доказали, что ставки размером больше банка имеют наибольшее математическое ожидание в покере на бордах, подходящих агрессору. В остальном подход к определению EV не меняется.

Как применять EV в играх

Очевидно, что такие сложные расчеты, как определение ожидаемой прибыли, невозможно в условиях ограниченного времени за реальными столами. Этот навык работает на уровне бессознательной компетенции после сотен часов работы над теорией. Необязательно просчитывать каждую ситуацию вручную, хотя иметь такой калькулятор хотя бы в формате файла Excel бывает полезно.

ГТО-солверы помогают анализировать игровые ситуации в разрезе сразу всех важных показателей: шансов банка, эквити, EV, комбинаторики. Но они дают готовую картину, новичку может быть сложно разобраться в ее логике.

Набираться опыта лучше с использованием более простого софта — калькуляторов эквити, помогающих собрать вводные для расчетов.

Часто задаваемые вопросы

😎 Какой показатель в покере считается важнейшим?

Это спорный вопрос, хотя теоретически как раз математическое ожидание прямо влияет на все остальные значения. На практике винрейт и $ в час имеют большее значение, поскольку отражают реальный доход покериста.

⏳ В каких играх, кроме покера, применяется концепция математического ожидания?

В любых, в которых присутствует вероятность того или иного события при неполной информации. К примеру, подбрасывание монетки при ставках на результат также можно просчитать с точки зрения ожидания.

📊 Есть ли предел в показателях EV в разных ситуациях?

Границы ожидания зависят от глубины стеков оппонентов. К примеру, если соперник с запасом фишек на 500 ББ готов оплатить олл-ин в банк 5 ББ, именно это действие будет иметь максимальное EV.

👀 Можно ли просмотреть матожидание от действий в трекерах?

В аналитическом софте такого типа обычно отображается All in EV на графиках и в общих итогах. Из этого показателя выводится также и ожидаемый винрейт. Кроме того, в конкретных раздачах часто указывается разница между реальным и расчетным результатом.

🤓 Можно ли использовать EV для расчета ежемесячной прибыли?

Для этой цели лучше подходит такой показатель, как винрейт. При этом нужно, чтобы он отражал результат на максимально длинной дистанции.

Добавить комментарий

Ваш адрес e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *